Интерференция световых волн

Понятие интерференции волн в физике

Свет имеет и свойства частицы, и свойства волны. Наиболее ярко волновые свойства света проявляют себя в явлениях интерференции и дифракции.

Определение 1

Интерференция (лат. interferens, от inter — «между» и ferens — «несущий, переносящий») — это явление сложения волн, вследствие которого наблюдается устойчивое усиление или ослабление результирующих колебаний (то есть амплитуды волн) в различных точках пространства.

Определение 2

Интерференция света — интерференция электромагнитных волн, а именно их видимой части, перераспределение интенсивности света в результате наложения (суперпозиции) нескольких световых волн.

В области наложения световых пучков наблюдается чередование интенсивности света, которое называется интерференционной картиной. При интерференции белого света наблюдается радужная картина, а если рассматривать волны одной частоты (монохроматическое излучение), то это будет чередование освещенных и темных полос.

Особенностью интерференции является то, что в максимумах (светлых участках) интенсивность суммарной волны больше, а в минимумах (темных участках) меньше, чем сумма интенсивностей пучков.

Условие максимума и минимума

Однако величина , называемая разностью хода, имеет важнейшее значение. От неё самым решительным образом зависит то, какой результат сложения приходящих волн мы увидим в точке
.

Рис. 3. Усиление колебаний в точке P

В ситуации на рис. 3 разность хода равна длине волны . Действительно, на отрезке
укладываются три полных волны, а на отрезке – четыре (это, конечно, лишь иллюстрация; в оптике, например, длина таких отрезков составляет порядка миллиона длин волн). Легко видеть, что волны в точке
складываются в фазе и создают колебания удвоенной амплитуды – наблюдается, как говорят, интерференционный максимум.

Ясно, что аналогичная ситуация возникнет при разности хода, равной не только длине волны, но и любому целому числу длин волн.

Условие максимума. При наложении когерентных волн колебания в данной точке будут иметь максимальную амплитуду, если разность хода равна целому числу длин волн:

(1)

Теперь посмотрим на рис. 4. На отрезке
укладываются две с половиной волны, а на отрезке -три волны. Разность хода составляет половину длины волны (d=lambda /2[/math]).

Рис. 4. Гашение колебаний в точке P

Теперь нетрудно видеть, что волны в точке  складываются в противофазе и гасят друг друга – наблюдается интерференционный минимум. То же самое будет, если разность хода окажется равна половине длины волны плюс любое целое число длин волн.

Условие минимума.
Когерентные волны, складываясь, гасят друг друга, если разность хода равна полуцелому числу длин волн:

(2)

Равенство (2) можно переписать следующим образом:

.

Поэтому условие минимума формулируют ещё так: разность хода должна быть равна нечётному числу длин полуволн.

Свойства

Вы можете классифицировать интерференцию на основе её свойств, и использовать это для различных экспериментов.

Когерентность

Для появления интерференционной картины необходимо, чтобы условия минимумов и максимумов в данной точке не менялись. То есть чтобы разность хода двух волн всегда содержала одинаковое число полуволн. Это условие выполняется в том случае, если источники волн не перемещаются, а возбуждаемые волны имеют одинаковую частоту и постоянную разность фаз.

Источники, отвечающие этому условию, называются когерентными. Только волны когерентных источников дают устойчивую интерференционную картину.

Если источники некогерентны, то во всех точках среды условия минимумов и максимумов начинают постоянно меняться, и устойчивая интерференционная картина сменяется хаотичным волновым процессом.

Проблема когерентности волн

С помощью теории Юнга объясняются интерференционные явления, которые возникают при сложении 2-х монохроматических волн одинаковой частоты. Но сегодняшний опыт показывает, что интерференцию света на самом деле наблюдать не так-то просто. Если комнату осветить 2 одинаковыми лампочками, то в любой точке сложатся интенсивности света и здесь не будет никакой интерференции. Тогда появляется вопрос, когда нужно сложить напряженности (учитывая фазовые соотношения), а когда – интенсивности волн, то есть квадраты напряженностей полей? К сожалению, теория интерференции монохроматических волн не дает ответ на данный вопрос.

Реальные световые волны – не строго монохроматические. По фундаментальным физическим причинам излучение всегда происходит статистически (или случайно). Атомы источника света излучают независимо друг от друга в какие-то моменты времени, и каждый атом излучает свет очень короткий промежуток времени (τ≤10–8 с). Итоговое излучение источника света в определенный момент времени складывается из вкладов огромного количества атомов. Спустя время порядка τ совокупность излучающих атомов полностью обновляется. Потому суммарное излучение будет с другой амплитудой и, что очень важно, с другой фазой. Фаза волны, которая излучается реальным источником света, примерно постоянна только лишь на интервалах времени порядка τ.

Определение 8

Отдельные «обрывки» излучения длительности τ называют цуги. Они обладают пространственной длиной, равной cτ, где c – это скорость света.

Определение 9

Колебания в различных цугах не согласованы друг с другом. Выходит, что реальная световая волна – это последовательность волновых цугов с беспорядочно меняющейся фазой. В физике принято считать, что колебания в различных цугах некогерентны. Временной интервал τ, в течение которого фаза колебаний примерно постоянна, называется временем когерентности.

Интерференция возникает только лишь при сложении когерентных колебаний, то есть колебаний, которые относятся к одному цугу. Хоть и фазы каждого колебания также подвергаются случайным временным изменениям, но данные изменения одинаковы, потому разность фаз когерентных колебаний постоянна. В данном случае наблюдается устойчивая интерференционная картина и, значит, выполняется принцип суперпозиции полей. При сложении некогерентных колебаний разность фаз – это случайная функция времени. В этом случае интерференционные полосы подвергаются беспорядочным перемещениям из одной стороны в другую, и за время Δt их регистрации, которая в оптических экспериментах существенно превышает время когерентности (Δt≫τ), наблюдается полное усреднение. Глаз, фотопластинка или фотоэлемент фиксирует в точке наблюдения усредненную величину интенсивности, равную сумме интенсивностей I1+I2 этих колебаний. Здесь соблюдается закон сложения интенсивностей.

Итак, интерференция возникает только лишь при сложении когерентных колебаний. Волны, которые создают в точке наблюдения когерентные колебания, тоже называют когерентными. Волны от 2-х независимых источников некогерентны и не дают интерференцию. Ученый Юнг интуитивно догадался для того, чтобы получить интерференцию света нужно волну от источника разделить на 2 когерентные волны и потом смотреть на экране результат их сложения. Так устроены все интерференционные схемы. Но даже в данном случае интерференционная картина пропадает, если разность хода Δ превышает длину когерентности cτ.

Рисунок3.7.5.Модель кольца Ньютона.

Рисунок3.7.6.Модель интерференционый опыт Юнга.

Поляризация

Еще одно характерное свойство — поляризация. Поляризация описывает направление колебания волны. Если это изменение направления происходит быстро и беспорядочно, то волна является неполяризованной. Если волны поляризованы перпендикулярно друг другу, они не интерферируют друг с другом.

Рис. 2. Поляризация волн

Конструктивная интерференция

Конструктивная интерференция возникает всегда, когда разность путей двух волн соответствует целому числу, кратному длине волны. При этом условии гребень волны всегда встречает гребень волны, а впадина волны встречает впадину волны. Если амплитуды равны, конструктивная интерференция приводит к амплитуде, которая в два раза больше.

Математически это можно выразить следующим образом:

Гребень волны встречает гребень волны на разнице путей Δs = 0, 1λ, 2λ, …. Это дает вам формулу Δs = k * λ , где

Где k = 0, ±1, ±2, …и т.д. При k=0 вы имеете максимум 0-го порядка, а при k=1 — максимум 1-го порядка.

Рис. 3. Конструктивная интерференция

Деструктивная интерференция

Деструктивная интерференция всегда возникает при длине волны, кратной половине длины волны. При этом условии волновые впадины всегда встречаются с волновыми гребнями и наоборот. В результате амплитуда результирующей волны меньше амплитуды исходной волны. Если амплитуды равны, волны гасят друг друга.

Математически это можно выразить следующим образом:

Гребень волны встречается с гребнем волны на разнице путей Δs = 0.5λ, 1.5λ, 2.5λ, , …. Это дает вам формулу Δs = ( k +0.5) * λ , где

k = 0, ±1, ±2, … и т.д. При k=1 вы имеете минимум 1-го порядка.

Рис. 4. Деструктивная интерференция

Схемы интерференции волн

Кольца Ньютона

Явление интерференции впервые было описано И. Ньютоном в 1675 году.

Кольца Ньютона — это концентрические окружности равной толщины, наблюдаемые при отражении света от поверхностей зазора между стеклянной пластинкой и соприкасающейся с ней выпуклой линзой с большим радиусом кривизны.

Центр окружностей находится в точке соприкосновения линзы с пластинкой. Интерференция возникает при наложении волн, отраженных от границ воздушного зазора между линзой и пластинкой. На схеме красный падающий луч отражается от верхней (луч 1) и нижней (луч 2) границ зазора.

Волны 1 и 2 когерентны. Они имеют одинаковую длину волны и постоянную разность фаз колебаний, возникающую из-зa того, что путь первой волны меньше, чем путь второй.

Если разница равна целому числу длин волн (или четному числу полуволн), то, складываясь, волны усиливают друг друга. Если вторая волна отстает от первой на нечетное число полуволн, то волны погасят друг друга, так как колебания, вызванные ими, будут происходить в противоположных фазах.

Исаак Ньютон использовал не только белый свет, но и монохроматические пучки. Оказалось, что радиусы колец одного и того же порядкового номера увеличиваются при переходе от фиолетового конца спектра к красному, а красные максимумы имеют наибольший радиус.

Это связано с разными длинами волн в разных частях спектра и позволяет вычислить длину волны, если известны радиусы интерференционных колец. На рисунке ниже изображены кольца Ньютона в зеленом и красном свете:

Бипризма Френеля

В этой схеме для разделения исходного светового пучка используют бипризму (двойную призму) с малым преломляющим углом β. Пучок света проходит через узкую щель S, параллельную преломляющему ребру бипризмы. Преломляясь в бипризме, исходный пучок разделяется на два когерентных пучка с мнимыми вершинами в точках S1 и S2. При наложении этих пучков на экране наблюдаются параллельные интерференционные полосы.

Интерференционный опыт Юнга

В 1802 году ученый Юнга провел первый интерференционный опыт, которому есть подтверждение в волновой теории света. В данном эксперименте свет от источника – узкой щели S попадал на экран с
2-мя близко расположенными друг к другу щелями S1 и S2, как показано на рис. 3.7.3. Минуя каждую из щелей, световой пучок уширялся из-за дифракции, а потому на белом экране Э световые пучки, которые прошли через щели S1 и S2, перекрывались. В месте перекрытия световых пучков находится интерференционная картина, выступающая в виде чередующихся светлых и темных полос.

Ученый Юнг – первый, кто догадался, что невозможно увидеть интерференцию, если сложить волны от 2-х независимых источников. Потому в его эксперименте щели S1 и S2, которые по принципу Гюйгенса можно рассматривать в качестве источников вторичных волн, освещались светом одного источника S. Если симметрично расположить щели, то вторичные волны от источников S1 и S2 находятся в фазе, однако волны проходят до точки наблюдения P различные расстояния r1 и r2. Можно сделать вывод, что фазы колебаний, которые создаются волнами от источников S1 и S2 в точке P, различные. Следует, что задача об интерференции волн – это задача о сложении колебаний одинаковой частоты, но с различными фазами.

Определение 4

Высказывание о том, что волны от источников S1 и S2 распространяются независимым образом, а в точке наблюдения они складываются друг с другом, – это опытный факт, который называется принципом суперпозиции.

Определение 5

Монохроматическую (или синусоидальную) волну, распространяющуюся в направлении радиус-вектора r→, записывают в виде

E=a cos (ωt – kr),

где a – это амплитуда волны, k=2πλ – это волновое число, λ – это длина волны, ω=2πν – это круговая частота. При решении оптических задач под E предполагают модуль вектора напряженности электрического поля волны. При вкладывании 2-х волн в точке P итоговое колебание также случается на частоте ω и обладает некоторой амплитудой A и фазой φ:

E=a1·cos (ωt–kr1)+a2·cos (ωt – kr2)=A·cos (ωt-φ).

Приборы, которые могли бы следить за быстрыми изменениями поля световой волны в оптическом диапазоне, не существуют. Наблюдаемая величина – это поток энергии, прямо пропорциональный квадрату амплитуды электрического поля волны.

Определение 6

Физическая величина, равная квадрату амплитуды электрического поля волны, называется интенсивностью: I=A2.

Путем простых тригонометрических вычислений можно прийти к следующему выражению для интенсивности результирующего колебания в точке P:

I=A2=a12+a22+2a1a2 cosk∆=I1+I2+2I1I2 cos k∆ (*),

где Δ=r2–r1 – это разность хода.

Из данного выражения можно сделать вывод, что интерференционный максимум (то есть светлая полоса) достигается в таких точках пространства, в которых Δ=mλ (m=0, ±1, ±2, …). Причем Imax=(a1+a2)2=I1+I2. Интерференционный минимум (то есть темная полоса) достигается при Δ=mλ+λ2. Минимальное значение интенсивности Imin=(a1–a2)2<i1+i2. ход=”” будет=”” каким=”” того,=”” от=”” смотря=”” картине,=”” интерференционной=”” в=”” света=”” интенсивность=”” распределяется=”” как=”” показывает,=”” наглядно=”” 3.7.4=”” рис.=””></i1+i2.>

Рисунок3.7.4.Распределение интенсивности в интерференционной картине. Целое число m – это порядок интерференционного максимума.

Предположим, что если I1=I2=I0, то есть длина 1 и 2 световой волны одинакова, то выражение (*) выглядит следующим образом:

I=2I0(1+cos kΔ) (**).

В данном случае Imax=4I0, Imin=0.

Формулы (*) и (**) – универсальные. Они подходят для любой интерференционной схемы, в которой складываются 2 монохроматические волны одинаковой частоты.

Обозначим в схеме Юнга смещение точки наблюдения от плоскости симметрии y, тогда в случае, когда d≪L и y≪L (как правило, в оптических экспериментах данные условия соблюдаются), можно приблизительно получить:

∆≈d·θ≈d·yL.

Разность хода Δ меняется на одну длину волны λ при смещении от одного интерференционного максимума к другому, то есть на расстояние, эквивалентное ширине интерференционной полосыΔl. Получается,

d·∆lL=λ или ∆l=L·λd≈λψ,

где ψ – это угол схождения «лучей» в точке наблюдения P.

Пример 1

Сделаем количественную оценку. Предположим, что расстояние d между 2-мя щелями S1 и S2 равняется 1 мм, а расстояние от щелей до экрана Э равно L=1 м, в таком случае ψ=dL=0,001 рад. Для света зеленого цвета (λ=500 нм) получаем Δl =λ ψ=5·105 нм=0,5 мм. Для света красного цвета (λ=600 нм)Δl=0,6 мм. Именно так Юнг в первый раз измерил длины световых волн, хоть и точность данных измерений была невысока.

Определение 7

Подчеркнем, что в волновой оптике понятие “луч света” теряет физический смысл в отличие от геометрической оптики. Определение «луч» в волновой оптике употребляется для краткости обозначения направления распространения волны.

Далее данный термин будет упоминаться без кавычек.

При рассмотрении эксперимента И. Ньютона (рис.3.7.1) при нормальном падении волны на плоскую поверхность линзы разность хода примерно равняется удвоенной толщине 2h воздушного промежутка между линзой и плоскостью. Если радиус кривизны R линзы огромен в сравнении с h, можно приблизительно получить формулу:

h≈r22R,

где r – это смещение от оси симметрии. Вычисляя разность хода, следует учитывать, что волны 1 и 2 отражаются при различных условиях. 1-я волна отражается от границы стекло–воздух, а 2-я – от границы воздух–стекло. В последнем варианте фаза колебаний отраженной волны изменяется на π, что равно увеличению разности хода на λ2. А потому

∆=2h+λ2≈r2R+λ2.

При условии r=0, то есть в центре (точка соприкосновения) Δ = λ2; потому в центре колец И. Ньютона всегда находится интерференционный минимум (зрительно это выглядит, как темное пятно). Радиусы rm следующих темных колец вычисляются по формуле

rm=mλR.

По данной формуле рассчитывается длина световой волны λ при известном радиусе кривизны R линзы.

Определение длины световой волны

Представим, что расстояние между источниками когерентных волн S1 и S2 намного меньше расстояния от источников до экрана (j):
В таком случае световые волны, исходящие из этих источников и дошедшие до точки экрана m с координатой , можно считать параллельными. Разность хода между этими лучами:

Вследствие малости угла

Условие интерференционного максимума в этом случае будет:

Отсюда можно найти длину волны:

Пример расчета интерференции волн

Для лучшего понимания здесь приводится упрощенный вариант расчета. Предположим, что излучаются две волны (S1 и S2). Оба сигнала имеют одинаковую амплитуду, частоту и поляризацию. На большом расстоянии находится приемник E.

Рис. 5. Расчет интерференции волн

Из рисунка видно, что на разность путей Δs влияет, помимо прочего, угол α‎. Тригонометрически можно определить следующее соотношение: sin (α) = Δs / b = ↔ Δs = b * sin (α)

Для угла α вы получите tan (α) = x / d

Для очень малых α используйте приближение малого угла. Это означает, что tan( α ) ≈ sin( α ). Если вы подставите это в свою формулу для разницы путей Δs, то получите: Δs = b * tan (α) = b * ( x / d ).